Observador acercándose a una fuente [editar]
Imaginemos que un observador O se mueve con una velocidad que tiene una dirección y sentido hacia una fuente de sonido S que se encuentra en reposo. El medio es aire y también se encuentra en reposo. La fuente emite un sonido de velocidad V, frecuencia y longitud de onda . Por lo tanto, la velocidad de las ondas respecto del observador no será , sino la siguiente:
Sin embargo, no debemos olvidar que como la velocidad del medio no cambia, la longitud de onda será la misma, por lo tanto, si:
Pero como mencionamos en la primera explicación, el observador al acercarse a la fuente oirá un sonido más agudo, esto implica que su frecuencia es mayor. A esta frecuencia mayor captada por el observador se la denomina frecuencia aparente, que la denominamos f'.
El observador escuchará un sonido de mayor frecuencia debido a que
Observador alejándose de una fuente [editar]
Analicemos el caso contrario: cuando el observador se aleja de la fuente, la velocidad será y de manera análoga podemos deducir que
Fuente acercándose al observador [editar]
En este caso la frecuencia aparente percibida por el observador será mayor que la frecuencia real emitida por la fuente, lo que genera que el observador perciba un sonido más agudo.
Por tanto, la longitud de onda percibida para una fuente que se mueve con velocidad será:
Como podemos deducir que:
Fuente alejándose del observador
Haciendo un razonamiento análogo para el caso contrario: fuente alejándose; podemos concluir que la frecuencia percibida por un observador en reposo con una fuente en movimiento será:
Los signos y deben ser aplicados de la siguiente manera: si el numerador es una suma, el denominador debe ser una resta y viceversa.
Ejemplo [editar]
Un observador se mueve a una velocidad de 42 m/s hacia un trompetista en reposo. El trompetista está tocando (emitiendo) la nota La (440 Hz). ¿Qué frecuencia percibirá el observador, sabiendo que = 340 m/s
Solución: Si el observador se acerca hacia la fuente, implica que la velocidad con que percibirá cada frente de onda será mayor, por lo tanto la frecuencia aparente será mayor a la real (en reposo). Para que esto ocurra debemos aplicar el signo (+) en la ecuación.
En este caso particular, el trompetista emite la nota La a 440 Hz; sin embargo, el observador percibe una nota que vibra a una frecuencia de 494,353 Hz, que es la frecuencia perteneciente a la nota Si. Musicalmente hablando, el observador percibe el sonido con un tono más agudo del que se emite realmente.
Efecto doopler acústico
Cuando la fuente de ondas y el observador están en movimiento relativo con respecto al medio material en el cual la onda se propaga, la frecuencia de las ondas observadas es diferente de la frecuencia de las ondas emitidas por la fuente. Este fenómeno recibe el nombre de efecto Doppler en honor a su descubridor.
En primer lugar, vamos a observar el fenómeno, y después obtendremos la fórmula que relaciona la frecuencia de las ondas observadas con la frecuencia de las ondas emitidas, la velocidad de propagación de las ondas vs, la velocidad del emisor vE y la velocidad del observador vO.
Consideraremos que el emisor produce ondas de forma continua, pero solamente representaremos los sucesivos frentes de ondas, circunferencias centradas en el emisor, separados por un periodo, de un modo semejante a lo que se puede observar en la experiencia en el laboratorio con la cubeta de ondas. En la simulación más abajo, fijaremos la velocidad de propagación del sonido en una unidad vs=1, y el periodo de las ondas sea también la unidad, P=1, de modo que los sucesivos frentes de onda se desplazan una unidad de longitud en el tiempo de un periodo, es decir, la longitud de las ondas emitidas es una unidad, l =vsP.
El observador en reposo
Empezamos por el caso más sencillo, en el que el observador está en reposo, a la izquierda o a la derecha del emisor de ondas. Vamos a estudiar diversas situaciones dependiendo de la velocidad del emisor.
Recordaremos que en el estudio de las del movimiento ondulatorio armónico, se estableció la relación entre longitud de onda y periodo, l =vsP.
El emisor está en reposo (vE=0)
Se dibujan los sucesivos frentes de ondas que son circunferencias separadas una longitud de onda, centradas en el emisor. El radio de cada circunferencia es igual al producto de la velocidad de propagación por el tiempo transcurrido desde que fue emitido. La separación entre dos frentes de onda es una longitud de onda, l=vsP, siendo P el periodo o tiempo que tarda en pasar dos frentes de onda consecutivos por la posición del observador.
La longitud de onda medida por el emisor y por el observador es la misma, una unidad, lE=lO=1.
Cuando el emisor está en movimiento (vE
Si el movimiento del emisor va de izquierda a derecha (velocidades positivas), la longitud de onda medida por el observador situado a la derecha es más pequeña que la unidad, y la longitud de onda medida por el observador situado a la izquierda del emisor es mayor que la unidad.
Observador situado a la derecha del emisor lO
Como l =vP, o bien l =v/f , hay una relación inversa entre longitud de onda l y la frecuencia f.
Observador situado a la derecha del emisor fO>fE
Observador situado a la izquierda del emisor fO
Cuando el emisor está en movimiento (vE=vs)
Cuando la velocidad del emisor vE sea igual que la velocidad de propagación de las ondas en el medio vs (vE=1), la longitud de onda medida por el observador situado a la derecha del emisor es cero. Si el emisor es un avión que va a la velocidad del sonido, los sucesivos frentes de las ondas emitidas se agrupan en la punta o morro del avión.
Cuando el emisor está en movimiento (vE>vs)
Cuando la velocidad del emisor vE sea mayor que la velocidad de propagación de las ondas en el medio vs (vE>1), el movimiento ondulatorio resultante es entonces una onda cónica (la envolvente de los sucesivos frentes de onda es un cono con el vértice en el emisor), esta onda se llama onda de Mach u onda de choque, y no es más que el sonido repentino y violento que oímos cuando un avión supersónico pasa cerca de nosotros. Estas ondas se observan también en la estela que dejan los botes que se mueven con mayor velocidad que las ondas superficiales sobre el agua.
La envolvente, es la recta tangente común a todas las circunferencias. En el espacio, los frentes de onda son esferas y la envolvente es una superficie cónica.
En el instante t=0, el emisor se encuentra en B, emite una onda que se propaga por el espacio con velocidad vs. En el instante t el emisor se encuentra en O, y se ha desplazado vE·t, En este instante, el frente de onda centrado en B tiene una radio vs·t.
En el triángulo rectángulo OAB el ángulo del vértice es sen θ=vE/vs. Este cociente se denomina número de Mach.
Actividades
Se introduce
La velocidad del emisor, actuando en la barra de desplazamiento titulada Velocidad del emisor
La velocidad de propagación del sonido se ha fijado en vs=1.0
Se pulsa el botón titulado Empieza
Si pulsamos el botón titulado Pausa, la imagen congelada de los sucesivos frentes de onda puede ser fácilmente reproducida en papel utilizando la regla y el compás.
Pulsando varias veces en el botón titulado Paso, podemos medir el periodo o intervalo de tiempo que transcurre para el observador, el paso de dos frentes de ondas consecutivos. La inversa de las cantidades medidas nos dará las frecuencias de las ondas para el observador situado a la izquierda del emisor y para el situado a su derecha.
Deducción de la fórmula del efecto Doppler
A partir de la observación del movimiento del emisor, del observador y de los sucesivos frentes de onda, vamos a obtener la fórmula que describe el efecto Doppler.
En la parte superior de la figura, tenemos dos señales, que pueden corresponder a dos picos consecutivos de una onda armónica, separados un periodo P. En la parte inferior, los dos puntos coloreados representan las posiciones del emisor (en rojo) y del observador (en azul). En el instante inicial t=0 en el que se emite la primera señal, el emisor y el observador están separados una distancia d desconocida, que no afecta al fenómeno en cuestión.
La primera señal es recibida por el observador en el instante t. La señal se desplaza el camino marcado en trazo grueso negro en la parte superior de la figura, desde que se emite hasta que se recibe, podemos por tanto, escribir la ecuación
vs·t=d+vO·t
La segunda señal se emite en el instante P, y se recibe en el instante t’. En el intervalo de tiempo entre la primera y la segunda señal, el emisor se desplaza vEP. La segunda señal recorre desde que se emite hasta que se recibe, el camino señalado en trazo grueso negro en la parte inferior de la figura. Por tanto, podemos escribir la ecuación
d-vE·P+vO·t’=vs·(t’-P)
Eliminando la cantidad desconocida d entre las dos ecuaciones, relacionamos el periodo P’=t’-t, de las ondas recibidas, con el periodo P de las ondas emitidas.
Teniendo en cuenta que la frecuencia es la inversa del periodo, obtenemos la relación entre frecuencias, o fórmula del efecto Doppler.
Ejercicio:
Un silbato emite sonido de frecuencia 500 Hz se mueve con una máquina de tren a velocidad de 90 km/h. Un conductor se mueve en la misma dirección pero en sentido contrario en un vehículo con una velocidad de 144 km/h acercándose al tren. Calcular la frecuencia del sonido escuchado por el conductor
vE=25 m/svs=340 m/svO=-40 m/s
La frecuencia del sonido escuchado es f '= 603 Hz
vE=-25 m/svs=-340 m/svO=40 m/s
La frecuencia del sonido escuchado es f ' =603 Hz
Procedimiento geométrico para dibujar los sucesivos frentes de onda
En el applet que viene a continuación, se muestra el procedimiento geométrico para dibujar con la regla y el compás los sucesivos frentes de onda, del sonido emitido por un vehículo en movimiento.
Se dibuja una línea horizontal proporcional a la velocidad vE del emisor.
Con el mismo origen, se dibuja una línea vertical proporcional a la velocidad del sonido vs
Se unen los extremos de ambas líneas, formando un triángulo rectángulo
Se divide la línea horizontal en varias partes iguales, poniendo una marca en cada una de las divisiones
Se traza una línea vertical desde la marca hasta su intersección con la hipotenusa del triángulo rectángulo.
Con centro en la marca y radio igual a la longitud de dicha línea vertical, se traza una circunferencia
Se procede de la misma manera con todas las marcas de la línea horizontal.
Imaginemos que un observador O se mueve con una velocidad que tiene una dirección y sentido hacia una fuente de sonido S que se encuentra en reposo. El medio es aire y también se encuentra en reposo. La fuente emite un sonido de velocidad V, frecuencia y longitud de onda . Por lo tanto, la velocidad de las ondas respecto del observador no será , sino la siguiente:
Sin embargo, no debemos olvidar que como la velocidad del medio no cambia, la longitud de onda será la misma, por lo tanto, si:
Pero como mencionamos en la primera explicación, el observador al acercarse a la fuente oirá un sonido más agudo, esto implica que su frecuencia es mayor. A esta frecuencia mayor captada por el observador se la denomina frecuencia aparente, que la denominamos f'.
El observador escuchará un sonido de mayor frecuencia debido a que
Observador alejándose de una fuente [editar]
Analicemos el caso contrario: cuando el observador se aleja de la fuente, la velocidad será y de manera análoga podemos deducir que
Fuente acercándose al observador [editar]
En este caso la frecuencia aparente percibida por el observador será mayor que la frecuencia real emitida por la fuente, lo que genera que el observador perciba un sonido más agudo.
Por tanto, la longitud de onda percibida para una fuente que se mueve con velocidad será:
Como podemos deducir que:
Fuente alejándose del observador
Haciendo un razonamiento análogo para el caso contrario: fuente alejándose; podemos concluir que la frecuencia percibida por un observador en reposo con una fuente en movimiento será:
Los signos y deben ser aplicados de la siguiente manera: si el numerador es una suma, el denominador debe ser una resta y viceversa.
Ejemplo [editar]
Un observador se mueve a una velocidad de 42 m/s hacia un trompetista en reposo. El trompetista está tocando (emitiendo) la nota La (440 Hz). ¿Qué frecuencia percibirá el observador, sabiendo que = 340 m/s
Solución: Si el observador se acerca hacia la fuente, implica que la velocidad con que percibirá cada frente de onda será mayor, por lo tanto la frecuencia aparente será mayor a la real (en reposo). Para que esto ocurra debemos aplicar el signo (+) en la ecuación.
En este caso particular, el trompetista emite la nota La a 440 Hz; sin embargo, el observador percibe una nota que vibra a una frecuencia de 494,353 Hz, que es la frecuencia perteneciente a la nota Si. Musicalmente hablando, el observador percibe el sonido con un tono más agudo del que se emite realmente.
Efecto doopler acústico
Cuando la fuente de ondas y el observador están en movimiento relativo con respecto al medio material en el cual la onda se propaga, la frecuencia de las ondas observadas es diferente de la frecuencia de las ondas emitidas por la fuente. Este fenómeno recibe el nombre de efecto Doppler en honor a su descubridor.
En primer lugar, vamos a observar el fenómeno, y después obtendremos la fórmula que relaciona la frecuencia de las ondas observadas con la frecuencia de las ondas emitidas, la velocidad de propagación de las ondas vs, la velocidad del emisor vE y la velocidad del observador vO.
Consideraremos que el emisor produce ondas de forma continua, pero solamente representaremos los sucesivos frentes de ondas, circunferencias centradas en el emisor, separados por un periodo, de un modo semejante a lo que se puede observar en la experiencia en el laboratorio con la cubeta de ondas. En la simulación más abajo, fijaremos la velocidad de propagación del sonido en una unidad vs=1, y el periodo de las ondas sea también la unidad, P=1, de modo que los sucesivos frentes de onda se desplazan una unidad de longitud en el tiempo de un periodo, es decir, la longitud de las ondas emitidas es una unidad, l =vsP.
El observador en reposo
Empezamos por el caso más sencillo, en el que el observador está en reposo, a la izquierda o a la derecha del emisor de ondas. Vamos a estudiar diversas situaciones dependiendo de la velocidad del emisor.
Recordaremos que en el estudio de las del movimiento ondulatorio armónico, se estableció la relación entre longitud de onda y periodo, l =vsP.
El emisor está en reposo (vE=0)
Se dibujan los sucesivos frentes de ondas que son circunferencias separadas una longitud de onda, centradas en el emisor. El radio de cada circunferencia es igual al producto de la velocidad de propagación por el tiempo transcurrido desde que fue emitido. La separación entre dos frentes de onda es una longitud de onda, l=vsP, siendo P el periodo o tiempo que tarda en pasar dos frentes de onda consecutivos por la posición del observador.
La longitud de onda medida por el emisor y por el observador es la misma, una unidad, lE=lO=1.
Cuando el emisor está en movimiento (vE
Si el movimiento del emisor va de izquierda a derecha (velocidades positivas), la longitud de onda medida por el observador situado a la derecha es más pequeña que la unidad, y la longitud de onda medida por el observador situado a la izquierda del emisor es mayor que la unidad.
Observador situado a la derecha del emisor lO
Como l =vP, o bien l =v/f , hay una relación inversa entre longitud de onda l y la frecuencia f.
Observador situado a la derecha del emisor fO>fE
Observador situado a la izquierda del emisor fO
Cuando el emisor está en movimiento (vE=vs)
Cuando la velocidad del emisor vE sea igual que la velocidad de propagación de las ondas en el medio vs (vE=1), la longitud de onda medida por el observador situado a la derecha del emisor es cero. Si el emisor es un avión que va a la velocidad del sonido, los sucesivos frentes de las ondas emitidas se agrupan en la punta o morro del avión.
Cuando el emisor está en movimiento (vE>vs)
Cuando la velocidad del emisor vE sea mayor que la velocidad de propagación de las ondas en el medio vs (vE>1), el movimiento ondulatorio resultante es entonces una onda cónica (la envolvente de los sucesivos frentes de onda es un cono con el vértice en el emisor), esta onda se llama onda de Mach u onda de choque, y no es más que el sonido repentino y violento que oímos cuando un avión supersónico pasa cerca de nosotros. Estas ondas se observan también en la estela que dejan los botes que se mueven con mayor velocidad que las ondas superficiales sobre el agua.
La envolvente, es la recta tangente común a todas las circunferencias. En el espacio, los frentes de onda son esferas y la envolvente es una superficie cónica.
En el instante t=0, el emisor se encuentra en B, emite una onda que se propaga por el espacio con velocidad vs. En el instante t el emisor se encuentra en O, y se ha desplazado vE·t, En este instante, el frente de onda centrado en B tiene una radio vs·t.
En el triángulo rectángulo OAB el ángulo del vértice es sen θ=vE/vs. Este cociente se denomina número de Mach.
Actividades
Se introduce
La velocidad del emisor, actuando en la barra de desplazamiento titulada Velocidad del emisor
La velocidad de propagación del sonido se ha fijado en vs=1.0
Se pulsa el botón titulado Empieza
Si pulsamos el botón titulado Pausa, la imagen congelada de los sucesivos frentes de onda puede ser fácilmente reproducida en papel utilizando la regla y el compás.
Pulsando varias veces en el botón titulado Paso, podemos medir el periodo o intervalo de tiempo que transcurre para el observador, el paso de dos frentes de ondas consecutivos. La inversa de las cantidades medidas nos dará las frecuencias de las ondas para el observador situado a la izquierda del emisor y para el situado a su derecha.
Deducción de la fórmula del efecto Doppler
A partir de la observación del movimiento del emisor, del observador y de los sucesivos frentes de onda, vamos a obtener la fórmula que describe el efecto Doppler.
En la parte superior de la figura, tenemos dos señales, que pueden corresponder a dos picos consecutivos de una onda armónica, separados un periodo P. En la parte inferior, los dos puntos coloreados representan las posiciones del emisor (en rojo) y del observador (en azul). En el instante inicial t=0 en el que se emite la primera señal, el emisor y el observador están separados una distancia d desconocida, que no afecta al fenómeno en cuestión.
La primera señal es recibida por el observador en el instante t. La señal se desplaza el camino marcado en trazo grueso negro en la parte superior de la figura, desde que se emite hasta que se recibe, podemos por tanto, escribir la ecuación
vs·t=d+vO·t
La segunda señal se emite en el instante P, y se recibe en el instante t’. En el intervalo de tiempo entre la primera y la segunda señal, el emisor se desplaza vEP. La segunda señal recorre desde que se emite hasta que se recibe, el camino señalado en trazo grueso negro en la parte inferior de la figura. Por tanto, podemos escribir la ecuación
d-vE·P+vO·t’=vs·(t’-P)
Eliminando la cantidad desconocida d entre las dos ecuaciones, relacionamos el periodo P’=t’-t, de las ondas recibidas, con el periodo P de las ondas emitidas.
Teniendo en cuenta que la frecuencia es la inversa del periodo, obtenemos la relación entre frecuencias, o fórmula del efecto Doppler.
Ejercicio:
Un silbato emite sonido de frecuencia 500 Hz se mueve con una máquina de tren a velocidad de 90 km/h. Un conductor se mueve en la misma dirección pero en sentido contrario en un vehículo con una velocidad de 144 km/h acercándose al tren. Calcular la frecuencia del sonido escuchado por el conductor
vE=25 m/svs=340 m/svO=-40 m/s
La frecuencia del sonido escuchado es f '= 603 Hz
vE=-25 m/svs=-340 m/svO=40 m/s
La frecuencia del sonido escuchado es f ' =603 Hz
Procedimiento geométrico para dibujar los sucesivos frentes de onda
En el applet que viene a continuación, se muestra el procedimiento geométrico para dibujar con la regla y el compás los sucesivos frentes de onda, del sonido emitido por un vehículo en movimiento.
Se dibuja una línea horizontal proporcional a la velocidad vE del emisor.
Con el mismo origen, se dibuja una línea vertical proporcional a la velocidad del sonido vs
Se unen los extremos de ambas líneas, formando un triángulo rectángulo
Se divide la línea horizontal en varias partes iguales, poniendo una marca en cada una de las divisiones
Se traza una línea vertical desde la marca hasta su intersección con la hipotenusa del triángulo rectángulo.
Con centro en la marca y radio igual a la longitud de dicha línea vertical, se traza una circunferencia
Se procede de la misma manera con todas las marcas de la línea horizontal.
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